La derivada y sus propiedades.
Derivada
La
derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la
curva está dibujada en rojo).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de
la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de
su variable independiente.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por
ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un
ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función
representa la posición de
un objeto con respecto al tiempo,
su derivada es la velocidad de
dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre
las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de
750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en
distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30
recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por
ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada
vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las
15:19 y las 15:21, etc.
El
valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase
geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a
la gráfica de
la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función
alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el
caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y
el diferencial.
La
derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x).
La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada
es la llamada función
derivada de f,
denotada por f′.
El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación,
y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
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